Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于b、c的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）求出g（x）的导数，问题转化为a＜${（x+\frac{2}{x}）}_{max}$，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-ax+b，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f′（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f'（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0），
由f'（x）=0得x=0或x=a，
①当a＞0时，当x∈（-∞，0）∪（a，+∞）时，f'（x）＞0，
当x∈（0，a）时，f'（x）＜0；
故当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）与（a，+∞），单调减区间为（0，a）；
②当a＜0时，当x∈（-∞，a）∪（0，+∞）时，f'（x）＞0，
当x∈（a，0）时，f'（x）＜0；
故当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，a）与（0，+∞），单调减区间为（a，0）；
③当a=0时，当x∈R时，f'（x）=x²≥0
故当a=0时，f（x）增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2x，
g′（x）=x²-ax+2，依题意，存在x∈（-2，-1），
使不等式g′（x）=x²-ax+2＜0成立，
即x∈（-2，-1）时，a＜${（x+\frac{2}{x}）}_{max}$=-2$\sqrt{2}$即可．
所以满足要求的a的取值范围是（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．