Question

6．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，定义$\overrightarrow a×\overrightarrow b$为$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的“向量积”，且$\overrightarrow a×\overrightarrow b$是一个向量，它的长度$|\overrightarrow a×\overrightarrow b|=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|sinθ$，若$\overrightarrow u=（2，0），\overrightarrow u-\overrightarrow v=（1，-\sqrt{3}）$，则|$\overrightarrow u×（\overrightarrow u-\overrightarrow v）$|=（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 6
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据条件容易求出$\overrightarrow{u}•（\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}）$，$|\overrightarrow{u}|，|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|$的值，进而求出$cos＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}＞$，从而得到$sin＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}＞$的值，带入向量积长度的计算公式便可求出|$\overrightarrow u×（\overrightarrow u-\overrightarrow v）$|的值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{u}•（\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}）$=2，$|\overrightarrow{u}|=2，|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=2$；
∴cos$＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}＞$=$\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$；
∴$sin＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$|\overrightarrow{u}×（\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}）|=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|sin＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}＞$=$2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$．
故选D．

点评 考查对向量积的理解，能根据向量积长度的计算公式求向量积的长度，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式．