Question

11．三棱锥P-ABC中，PA=4，∠PBA=∠PCA=90°，△ABC是边长为2的等边三角形，则三棱锥P-ABC的外接球球心到平面ABC的距离是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根据棱锥的特征可知PA为外接球的直径，再利用正四面体的结构特征求出正四面体的高．

解答 解：∵∠PBA=∠PCA=90°，∴PA的中点O为三棱锥P-ABC的外接球球心，
∴三棱锥O-ABC是棱长为2的正四面体，
过O作OM⊥平面ABC，垂足为M，连接BM并延长BM交AC于D，则D为AC的中点，
∴OD=BD=$\sqrt{3}$，MD=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OM=$\sqrt{O{D}^{2}-M{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．