Question

10．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）=0对任意实数x均成立，则α-β的值是（　　）

• A． $-\frac{π}{3}$
• B． $-\frac{2π}{3}$
• C． $-\frac{4π}{3}$
• D． $-\frac{2π}{3}$或$-\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 设f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），通过赋值f（-α）=0，f（-β）=0，f（-γ）=0，可求得cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，结合已知0＜α＜β＜γ＜2π，即可求得γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$，相减即可得解．

解答 解：设f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），
由题意知，?x∈R，f（x）=0恒成立，
则f（-α）=f（-β）=f（-γ）=0，
∴cos（β-α）+cos（γ-α）=cos（β-α）+cos（γ-β）=cos（γ-α）+cos（γ-β）=-1，
∴cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$．
∵0＜α＜β＜γ＜2π，
∴β-α，γ-β，γ-α∈{$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$}，从而γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$，
∴α-β=（γ-β）-（γ-α）=$\frac{2π}{3}$-$\frac{4π}{3}$=-$\frac{2π}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的余弦函数，突出考查构造函数思想与赋值法的应用，考查综合分析与运算的能力，属于难题．