Question

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+2，当x∈（

1

2

，4）时，不等式f（x）＜-x+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：将问题转化为a＞

x2+1

x

在（

1

2

，4）恒成立，令g（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，通过求导得出g（x）_极大值=g（x）_max=g（1）=2，从而求出a的范围．

解答： 解：当x∈（

1

2

，4）时，不等式f（x）＜-x+1恒成立，
即x²-ax+1＜0在（

1

2

，4）恒成立，
即a＞

x2+1

x

在（

1

2

，4）恒成立，
令g（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
∴g′（x）=1-

1

x2

，
令g′（x）＞0，解得：

1

2

＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜4，
∴g（x）在（

1

2

，1）递增，在（1，4）递减，
∴g（x）_极大值=g（x）_max=g（1）=2，
∴a＞2．

点评：本题考查了函数的单调性，二次函数的性质，考查导数的应用，分离参数法求参数的范围，本题属于中档题．