Question

已知直线L₁：2x-y-4=0与抛物线C₁：y²=4x交于A、B两点，又C₂是顶点在原点，对称轴为x轴，且开口向左的抛物线，L₂是过C₂的焦点F的直线，并且与C₂交于C、D两点，若ABCD成平行四边形，求L₁与L₂的距离．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：联立直线L₁与抛物线C₁，求出A，B的坐标，得到直线AB的斜率及距离，设出C₂的方程，求出L₂的方程，联立后利用根与系数的关系得到C，D两点的横坐标的和与积，利用弦长公式求得p的值，得到L₂的方程，代入两平行线间的距离公式得答案．

解答： 解：由

2x-y-4=0 y2=4x

，得x²-5x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=4，
分别代入2x-y-4=0，得y₁=-2，y₂=4．
∴A（1，-2），B（4，4）．
则kAB=

4-(-2)

4-1

=2，|

AB

|=

(4-1)2+(4+2)2

=3

5

．
设抛物线C₂的方程为y²=-2px（p＞0），
则L₂的方程为y=2(x+

p

2

)．
联立

y=2x+p y2=-2px

，得：4x²+6px+p²=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x1+x2=-

3p

2

，x1x2=

p2

4

，
∴|CD|=

1+22

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

9 4 p2-4• p2 4

=

5

2

p=3

5

．
解得：p=

6 5

5

．
则L₂的方程为：y=2x+

6 5

5

．即2x-y+

6 5

5

=0．
∴L₁与L₂的距离为

| 6 5 5 +4|

22+(-1)2

=

6+4 5

5

．

点评：本题考查了直线与抛物线的关系，考查了弦长公式的用法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常利用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．