Question

已知M、m分别是函数f（x）=

2 sin(x+ π 4 )+2x2+x

2x2+cosx

的最大值、最小值，则M+m=

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：利用分式函数的性质进行分解，结合奇函数的对称性，即可得到结论．

解答： 解：函数f（x）=

2 sin(x+ π 4 )+2x2+x

2x2+cosx

=

(2x2+cosx)+sinx+x

2x2+cosx

=1+

sinx+x

2x2+cosx

，
令g（x）=

sinx+x

2x2+cosx

，则g（x）为奇函数，故g（x）的最大值和最小值的和为0．
即g_max（x）+g_min（x）=0，∴M=g_max（x）+1，N=g_min（x）+1，
∴M+N=g_max（x）+g_min（x）+2=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查函数最值的判断，利用分式函数进行分解，利用奇函数的最值互为相反数，即可得到结论，体现了转化的数学思想，属于基础题．