题目内容

下列命题：
①函数y=2cos（2x+
π
6
）图象的一个对称中心为（
π
6
，0）；
②函数y=sin（
1
2
x-
π
6
）在区间[-
π
3
，
11
6
π]上的值域为[-
3
2
，
2
2
]；
③函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+
π
4
）的图象向右平移
π
4
个单位得到；
④若方程sin（2x+
π
3
）-a=0在区间[0，
π
2
]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=
π
6
．其中正确命题的序号为
 
．
考点：命题的真假判断与应用
专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑
分析：求x=
π
6
时的函数值判断①；直接求解函数y=sin（
1
2
x-
π
6
）在区间[-
π
3
，
11
6
π]上的值域判断②；
化y=cosx=sin（x+
π
2
）=sin（x+
π
4
+
π
4
）判断③；求出函数y=sin（2x+
π
3
）在[0，
π
2
]上的对称轴方程，结合零点和方程根的关系判断④．
解答： 解：对于①，
∵当x=
π
6
时，函数y=2cos（2x+
π
6
）的值为0，
∴函数y=2cos（2x+
π
6
）图象的一个对称中心为（
π
6
，0），命题①正确；
对于②，
由x∈[-
π
3
，
11
6
π]，得
1
2
x-
π
6
∈[-
π
3
，
3π
4
]，
∴y=sin（
1
2
x-
π
6
）∈[-
3
2
，1]，命题②错误；
对于③，y=cosx=sin（x+
π
2
）=sin（x+
π
4
+
π
4
），
∴函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+
π
4
）的图象向左平移
π
4
个单位得到，命题③错误；
对于④，方程sin（2x+
π
3
）-a=0可化为方程sin（2x+
π
3
）=a，
函数y=sin（2x+
π
3
）在[0，
π
2
]上的对称轴方程是x=
π
6
，
∴若方程sin（2x+
π
3
）-a=0在区间[0，
π
2
]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=
π
6
，命题④正确．
∴正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知空间三点A（1，2，3），B（5，4，7），C（3，5，5），则
|AB|
|CB|
=
 
．
已知函数f（x）=2x-3，x∈[1，5]，则函数的值域为
 
．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，则C1A与平面ABCD所成角的正弦值为
 
．
等比数列{an}中，a1=1，a2=2，f（x）=x（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=
 
．
已知M、m分别是函数f（x）=
2
sin(x+
π
4
)+2x2+x
2x2+cosx
的最大值、最小值，则M+m=
 
．
设a1=2，an+1=
2
an+1
，bn=|
an+2
an-1
|（n∈N+），Sn为数列{bn}的前n项和，则S5=
 
．
已知函数f（x）=ln（2x+1），则f′（0）=（　　）
A、0
B、1
C、2
D、
1
2
下列各组函数中，f（x）和g（x）表示同一函数的是（　　）
A、f（x）=x0，g（x）=1
B、f（x）=|x|，g（x）=
x2
C、f（x）=2x，g（x）=
4x2
D、f（x）=x2，g（x）=（
1
x
）-2

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