Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（{a＞b＞0}）的离心率为

2

2

，点A（0，1）是椭圆的一个顶点．（1）求椭圆的方程；
（2）如图，已知过点D（-2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q，点M满足2

OM

=

OP

+

OQ

，求

|MD|

|MP|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意求出b，a，然后求出椭圆的方程．
（2）当直线l的斜率为0时，P，Q分别为椭圆长轴的两个端点，点M即为原点，求出比值；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my-2．联立仔细与椭圆方程，利用△＞0，求出m的范围，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），说明点M是弦PQ的中点，设M（x_M，y_M求出

|MD|

|MP|

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

，通过m的范围求出

|MD|

|MP|

∈(

2

，+∞)．

解答： 解：（1）由题意可知，b=1，e=

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²，解得a=

2

，
所以椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1．…（5分）．
（2）当直线l的斜率为0时，P，Q分别为椭圆长轴的两个端点，
点M即为原点，|MD|=2，|MA|=

2

，
所以

|MD|

|MP|

=

2

．…（7分）
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my-2．
由

x=my-2 x2 2 +y2=1

得（m²+2）y²-4my+2=0．
△=16m²-8（m²+2）=8m²-16＞0，即m²＞2．…（9分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴y1+y2=

4m

m2+2

．
∵2

OM

=

OP

+

OQ

，∴点M是弦PQ的中点，
设M（x_M，y_M）．∴yM=

y1+y2

2

=

2m

m2+2

，．…（11分）
∴|MD|=

1+m2

|yM-yD|=

1+m2

2|m|

m2+2

，|MP|=

1+m2

|yM-y1|=

1+m2

|

y1-y2

2

|=

1+m2

△

2(m2+2)

=

1+m2

2 m2-2

m2+2

，
∴

|MD|

|MP|

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

，
∵m²＞2，∴

2

m2

∈(0，1)，

1- 2 m2

∈（0，1）．
∴

|MD|

|MP|

∈(

2

，+∞)，综上所述

|MD|

|MP|

∈(

2

，+∞)．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．