Question

14．函数f（x）=1-2acosx-2sin²x的最小值为g（a）（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（2）当a=2时，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，函数f（x）≤m恒成立，求m的取值范围；
（3）求g（a）．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系式化正弦为余弦，然后利用配方法求最值；
（2）把a=2代入函数解析式，求出函数在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值得答案；
（3）配方后分类求得函数的最小值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=1-4cosx-2sin²x=1-4cosx-2（1-cos²x）
=2cos²x-4cosx-1=2（cosx-1）²-3，
∵cosx∈[-1，1]，∴f（x）∈[-3，5]；
（2）当a=2时，f（x）=2（cosx-1）²-3，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]，则cosx∈[-1，0]，f（x）∈[-3，-1]，
由f（x）≤m恒成立，得m≥-1；
（3）由f（x）=1-2acosx-2sin²x
=1-2acosx-2（1-cos²x）=2cos²x-2acosx-1=$2（cosx-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-1$，这里-1≤cosx≤1．
①若-1≤$\frac{a}{2}$≤1，则当cosx=$\frac{a}{2}$时，f（x）_min=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-1；
②若 $\frac{a}{2}$＞1，则当cosx=1时，f（x）_min=1-2a；
③若 $\frac{a}{2}$＜-1，则当cosx=-1时，f（x）_min=1+2a．
综上，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{1+2a，a＜-2}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-1，-2≤a≤2}\\{1-2a，a＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．