Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，其中一条渐近线方程为y=

b

2

x（b∈N^*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列，则双曲线C的方程为（　　）

• A、

  x2

  4

  -y²=1
• B、x²-y²=1
• C、

  x2

  4

  -

  y2

  9

  =1
• D、

  x2

  4

  -

  y2

  16

  =1

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件推导出|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16，由余弦定理得|PF₂|²+|PF₁|²=2c²+2|OP|²，由此求出b²=1，由一条渐近线方程为y=

b

2

x，求得a=2，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：∵|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，
∴4c²=|PF₁|•|PF₂|，
∵|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=16，
即：|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16，①
设：∠POF₁=θ，则：∠POF₂=π-θ，
由余弦定理得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂|•|OP|•cos（π-θ），
|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|•cosθ
整理得：|PF₂|²+|PF₁|²=2c²+2|OP|²②
由①②化简得：|OP|²=8+3c²=20+3b²
∵OP＜5，∴20+3b²＜25，∵b∈N，∴b²=1．
∵一条渐近线方程为y=

b

2

x（b∈N^*），
∴

b

a

=

1

2

，∴a=2，
∴

x2

4

-y2=1．
故选：A．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．