Question

已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：先求出cosα，再求出sinα，利用二倍角公式，求出sin2α、cos2α，利用和角的正弦公式，即可求sin（2α+

π

3

）的值．

解答： 解：∵cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

3

5

，
∴cosα=-

3

5

（2分）
∵α∈（

π

2

，π），
∴sinα=

4

5

（4分）
∴sin2α=2sinαcosα=2×

4

5

×（-

3

5

）=-

24

25

（6分）
cos2α=cos²α-sin²α=-

7

25

（8分），
∴sin（2α+

π

3

）=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=（-

24

25

）×

1

2

+（-

7

25

）×

3

2

=-

24+7 3

50

（12分）

点评：本题考查二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．