Question

 已知，，点满足，记点的轨迹为，直线过点且与轨迹交于、两点．

    (1)无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值．

    (2)过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，由，，∴，故轨迹的方程为：

（Ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，与双曲线方程联立消得，

∴

解得

    

，∴

故得对任意的

恒成立，

∴，解得

∴当时，

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，

综上，当时，

（2），，∴直线是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：，，

方法一：∴

          

，∴，故，

注意到直线的斜率不存在时，，此时，

综上，.

方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，

∴，过作，垂足为，则

，

∴

由，得，

故.