Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两个焦点是F₁，F₂，点P在该椭圆上，若PF₁-PF₂=2，则△PF₁F₂的面积是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义，求得|PF₁|=3，|PF₂|=1，则△PF₂F₁是直角三角形，即可求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，焦点在x轴上，则a=2，由椭圆定义：|PF₁|+|PF₂|=4，丨F₁F₂丨=2c=2$\sqrt{2}$，
∵|PF₁|-|PF₂|=2，可得|PF₁|=3，|PF₂|=1，
由1²+（2$\sqrt{2}$）²=9，
∴△PF₂F₁是直角三角形，
△PF₁F₂的面积$\frac{1}{2}$|PF₂|×|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，考查计算能力，属于中档题．