Question

14．四面体A-BCD中，AB=AC=DB=DC=2$\sqrt{6}$，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．

Answer 1

分析 如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2$\sqrt{2}$，即可得O为四面体A-BCD的外接球，半径R=2$\sqrt{2}$，

解答 解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，
∵AB=AC=DB=DC=2$\sqrt{6}$，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=2\sqrt{5}$，∴EF⊥AD，
取EF中点O，OF=$\frac{1}{2}\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}=2$，∴AO=DO=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}=2\sqrt{2}$，
同理可得OB=OC=2$\sqrt{2}$，故O为四面体A-BCD的外接球，半径R=2$\sqrt{2}$，
则它的外接球表面积等于4πR²=32π，
故答案为：32π．

点评 本题考查了四面体外接球的表面积，解题关键是找到球心，求出半径，属于中档题．