Question

8．已知a，b为正实数，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=2，若a+b≥c对满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，3]
• C． （-∞，6]
• D． （-∞，3+2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质可得a+b的最小值，即可得出．

解答 解：∵a，b为正实数，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=2，
∴a+b=$\frac{1}{2}（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$（a+b）=$\frac{1}{2}$$（3+\frac{2a}{b}+\frac{b}{a}）$≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{a}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}$a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∵a+b≥c对满足条件的a，b恒成立，
则c≤$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．