Question

11．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a=1，b=$\sqrt{2}$，f（A）=2，求角C．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得f（x），再利用三角函数的值域即可得出．
（2）a＜b，可得A为锐角，由f（A）=2，可得2sin$（2A+\frac{π}{6}）$=2，解得A，再利用余弦定理与正弦定理即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$≤2．
当$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1，即2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时取等号．
∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．
（2）f（A）=2，∴2sin$（2A+\frac{π}{6}）$=2，解得A=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
∵a＜b，∴A为锐角，
∴A=$\frac{π}{6}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴1²=$（\sqrt{2}）^{2}$+c²-2$\sqrt{2}$c$cos\frac{π}{6}$，
化为：${c}^{2}-\sqrt{6}$c+1=0，
解得c=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{2}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
可得sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$．
∴C=15°，75^°，或105^°．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的值域、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．