Question

17．设函数f（x₀）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线为y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a，b； 
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出a，b的值即可；
（Ⅱ）问题等价于$xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，设函数g（x）=xlnx，设函数$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=a{e^x}lnx+\frac{a}{x}{e^x}-\frac{b}{x^2}{e^{x-1}}+\frac{b}{x}{e^{x-1}}$，
由题意可得f（1）=2，f'（1）=e，
故a=1，b=2…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，?$f（x）={e^x}lnx+\frac{{2{e^{x-1}}}}{x}$，
从而f（x）＞1等价于$xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，
设函数g（x）=xlnx，则g'（x）=1+lnx，
所以当$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$时，g'（x）＜0，
当$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$时，g'（x）＞0，
故g（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）$单调递减，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$单调递增，
从而g（x）在（0，+∞）的最小值为$g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．…（8分）
设函数$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，则h'（x）=e^-x（1-x），
所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，
故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）的最大值为$h（1）=-\frac{1}{e}$．
综上：当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．