题目内容

5．定义在R上的函数f（x）使不等式${f^'}（2x）＞\frac{ln2}{2}f（2x）$恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（　　）
A．$\frac{f（2）}{f（0）}＞2，\frac{f（0）}{{f（{-2}）}}＞2$B．f（2）＞2f（0）＞4f（-2）C．$\frac{f（2）}{f（0）}＜2，\frac{f（0）}{{f（{-2}）}}＜2$D．f（2）＜2f（0）＜4f（-2）

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（2x）}{{2}^{x}}$，求出函数的单调性，从而求出函数值的大小即可．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（2x）}{{2}^{x}}$
∴g′（x）=$\frac{{2}^{x}（2f′（2x）-ln2f（2x））}{{2}^{2x}}$，
∵${f^'}（2x）＞\frac{ln2}{2}f（2x）$恒成立，
∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在R上为增函数，
∴g（1）＞g（0）＞g（-1），
∴$\frac{f（2）}{2}$＞$\frac{f（0）}{{2}^{0}}$＞$\frac{f（-2）}{{2}^{-1}}$，
∴f（2）＞2f（0）＞4f（-2），
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．

练习册系列答案
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A．0B．1C．2D．3
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A．.$\frac{1}{3}$B．$-\frac{1}{3}$C．.$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$D．.$-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

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