Question

7．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，$PA=BC=\sqrt{3}$，则二面角A-BC-P的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-P的大小．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，
且AB=2，$PA=BC=\sqrt{3}$，
∴AC⊥BC，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-BC-P的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴二面角A-BC-P的大小为60°，
故选：C．

点评 本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．