Question

如图，一圆锥内接于半径为R的球O，当圆锥的体积最大时，圆锥的高等于

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的体积公式，利用求它的导数和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高．

解答： 解：设圆锥的高是h，过球心的一个轴截面如图：
则圆锥的底面半径r=

R2-(h-R)2

，
∴圆锥的体积V=

1

3

πr²h=

1

3

π（-h³+2h²R），
∵V'=

1

3

α（-3h²+4hR），由V′=0解得，h=

4

3

R，
∴由导数的性质知，当h=

4

3

R时，圆锥的体积最大．
故答案为：

4

3

R．

点评：本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力．