Question

5．如图所示，一条边利用足够长的墙，用12m长的篱笆围出一块五边形的苗圃．已知EA⊥AB，CB⊥AB，∠C=∠D=∠E，设CD=DE=x（m），五边形的面积为S．
（1）写出苗圃面积S与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）已知AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．就可以求出五边形的各个角的度数，连接EC，则△DEC是等腰三角形．四边形EABC为矩形，在△DEC中若作DF⊥EC，依据三线合一定理以及三角函数就可以用DE表示出EC的长，再根据总长是12m，AE就可以用x表示出来，因而五边形的面积写成△DEC于矩形EABC的和的问题，就可以把面积表示成x的函数，
（2）利用配方法，即可求二次函数的最值问题．

解答 解：（1）连接EC，作DF⊥EC，垂足为F
∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°，
∵DE=CD
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEA=∠ECB=90°，
∴四边形EABC为矩形，
∴DE=xm，
∴AE=6-x，DF=$\frac{1}{2}$x，EC=$\sqrt{3}$x，
∴S=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+6$\sqrt{3}$x（0＜x＜6）．
（2）S=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+6$\sqrt{3}$x=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-4）²+12$\sqrt{3}$．
当x=-$\frac{6\sqrt{3}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=4m时，S最大=12$\sqrt{3}$m²．

点评 本题求最值问题解决的基本思路是转化为函数问题，转化为依据函数问题求最值的问题．