Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，1），$\overrightarrow{b}$=$（{1，m+\sqrt{3}sin2x}）$，且函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求f（x）解析式
（Ⅱ）若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$时，f（x）最大值为2，求m的值，并指出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和两角和的正弦公式，化简即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由x的范围，可得2x+$\frac{π}{6}$的范围，可得最大值，即可得到m=-1；再由正弦函数的单调区间，解不等式即可得到所求区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1；
（Ⅱ）由x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值，且为m+3，
由题意可得m+3=2，解得m=-1；
则f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$；
由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{2π}{3}$．
则f（x）的增区间为（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）；
减区间为（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变换公式的运用，考查正弦函数的值域和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．