如图是一块直角梯形园地ABCD.AB∥CD.∠BAD=90°.经测最.AB=14m.CD=10m.∠ABC=60°.拟过线段AB上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上.不计路的宽度).将该园地分为面积之比为3:1的左.石两部分分别种植不同花卉．设EB=x.EF=y(1)当点F与点C重合时.试确定点E的位置,(2)求y关于x的函数关系式,(3)请确定点E.F� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图是一块直角梯形园地ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，经测最，AB=14m，CD=10m，∠ABC=60°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、石两部分分别种植不同花卉．设EB=x，EF=y（单位：m）
（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）请确定点E，F的位置，使直路EF长度最短．

分析（1）点F与点C重合时，求出两个三角形的面积，根据面积之比建立方程关系即可得到结论．
（2）设EB=x，EF=y，根据面积之比建立方程关系，进行整理即可．
（3）根据一元二次函数的最值性质，求出EF的最值，即可得到结论．

解答解：（1）当点F与点C重合时，h=CO=$\sqrt{3}$（14-10）=4$\sqrt{3}$，
四边形DABC的面积S₁=$\frac{（14-x）+10}{2}×4\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（24-x），
△CEB的面积S₂=$\frac{4\sqrt{3}x}{2}$=2$\sqrt{3}$x，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}（24-x）}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{3}{1}$，即24-x=3x，
则4x=24，x=6，
则BE=6，AE=8；
（2）四边形DAEF的面积S₁=$\frac{[（14-x）+（14-x）+\sqrt{{y}^{2}-48}]×4\sqrt{3}}{2}$=$\frac{（28-2x+\sqrt{{y}^{2}-48}）}{2}×4\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（28-2x+$\sqrt{{y}^{2}-48}$），
四边形FEBC的面积S₂=$\frac{[（x-4）-\sqrt{{y}^{2}+48}+x]×4\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（2x-4-$\sqrt{{y}^{2}-48}$），
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{3}{1}$，∴S₁=3S₂，
即2$\sqrt{3}$（28-2x+$\sqrt{{y}^{2}-48}$）=3×2$\sqrt{3}$（2x-4-$\sqrt{{y}^{2}-48}$
即28-2x+$\sqrt{{y}^{2}-48}$=6x-12-3$\sqrt{{y}^{2}-48}$），
则4$\sqrt{{y}^{2}-48}$=8x-40，
则y²=4x²-40x+148，即y=$\sqrt{4{x}^{2}-40x+148}$=2$\sqrt{{x}^{2}-10x+37}$．
（3）∵y=2$\sqrt{{x}^{2}-10x+37}$=2$\sqrt{（x-5）^{2}+12}$，
∴当x=5时，y最小为y=2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，此时EF的最小值为4$\sqrt{3}$，
此时BE=5，AE=9，FC=1，DF=9．

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