Question

9．已知函数f（x）=x|x-2a|+3（1≤x≤2）．
（1）当a=$\frac{3}{4}$时，求函数的值域；
（2）若函数f（x）的最大值是M（a），最小值为m（a），求函数h（a）=M（a）-m（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{3}{4}$时，化简f（x）=x|x-$\frac{3}{2}$|+3=$\left\{\begin{array}{l}{x（\frac{3}{2}-x）+3，1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x（x-\frac{3}{2}）+3，\frac{3}{2}＜x≤2}\end{array}\right.$，从而判断函数的单调性，从而解得；
（2）根据绝对值函数及二次函数的单调性，分a≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜a＜1，a=1，1＜a＜2，a≥2讨论确定函数的单调性，再讨论求函数的最值，从而求函数h（a）=M（a）-m（a）的最小值．

解答 解：（1）当a=$\frac{3}{4}$时，f（x）=x|x-$\frac{3}{2}$|+3=$\left\{\begin{array}{l}{x（\frac{3}{2}-x）+3，1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x（x-\frac{3}{2}）+3，\frac{3}{2}＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上是减函数，在[$\frac{3}{2}$，2]上是增函数；
而f（$\frac{3}{2}$）=3，f（1）=$\frac{7}{2}$，f（2）=4；
故函数的值域为[3，4]．
（2）①当2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$时，
f（x）=x（x-2a）+3=（x-a）²+3-a²，
f（x）在[1，2]上是增函数，
故M（a）=f（2）=2（2-2a）+3=7-4a，m（a）=f（1）=1-2a+3=4-2a；
故h（a）=M（a）-m（a）=3-2a≥2，
②当1＜2a＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，
f（x）=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{x（2a-x）+3，1≤x≤2a}\\{x（x-2a）+3，2a＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在[1，2a]上是减函数，在[2a，2]上是增函数；
故m（a）=f（2a）=3，
而f（1）=2a-1+3=2+2a，f（2）=2（2-2a）+3=7-4a，
f（2）-f（1）=5-6a，
故当$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{5}{6}$时，M（a）=f（2）=7-4a，
h（a）=M（a）-m（a）=7-4a-3＞$\frac{2}{3}$，
当$\frac{5}{6}$≤a＜2时，M（a）=f（1）=2+2a；
h（a）=M（a）-m（a）=2+2a-3≥$\frac{2}{3}$，
 ③当2a=2，即a=1时，
f（x）=x|x-2a|+3=x（2a-x）+3，
故f（x）在[1，2]上是减函数；
故m（a）=f（2）=3，M（a）=f（1）=4；
h（a）=M（a）-m（a）=1；
④当1＜a＜2时，
f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，2]上是减函数；
故M（a）=f（a）=a²+3，
而f（1）=2a+2，f（2）=4a-1，f（1）-f（2）=-2a+3，
故当1＜a＜$\frac{3}{2}$时，m（a）=f（2）=4a-1，
故h（a）=M（a）-m（a）=a²+3-4a+1＞$\frac{1}{4}$，
故当$\frac{3}{2}$≤a＜2时，m（a）=f（1）=2a+2，
故h（a）=M（a）-m（a）=a²+3-2a-1≥$\frac{1}{4}$，
⑤当a≥2时，f（x）在[1，2]上是增函数，
故M（a）=f（2）=2（2a-2）+3=4a-1，m（a）=f（1）=2a-1+3=2a+2；
故h（a）=M（a）-m（a）=2a-3≥1，
综上所述，函数h（a）=M（a）-m（a）的最小值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想的应用及绝对值函数的应用，属于难题．