Question

15．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）若k=1，求|MN|；
（2）求证：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：直线方程为：y=x-2，代入抛物线方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=4，则弦长公式可知|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得|MN|；
（2）设直线方程方程，y=k（x-2）（k≠0），代入抛物线方程，即可求得x₁x₂=4，则（y₁y₂）²=4x₁x₂，则求得y₁y₂，则由斜率公式可知：k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-1，即可证明OM⊥ON．

解答 解：（1）由题意可知：直线方程为：y=x-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4×4}$=2$\sqrt{10}$，
∴|MN|=2$\sqrt{10}$；
（2）证明：直线l过点P（2，0）且斜率为k，设直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消去y代入可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．
由韦达定理可知：x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=4，
由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，则（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，
又注意到y₁y₂＜0，
所以y₁y₂=-4．
设OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4}{4}$=-1，
∴OM⊥ON．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．