已知$\overrightarrow{e 1}$.$\overrightarrow{e 2}$是夹角为60°的两个单位向量.则$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e 1}+\overrightarrow{e 2}$与$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e 1}+2\overrightarrow{e 2}$的夹角的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是夹角为60°的两个单位向量，则$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$的夹角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

分析设$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$的夹角为θ，利用两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式求得cosθ的值，可得sinθ 的值．

解答解：由题意可得$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，设$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$+2${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=-6+$\frac{1}{2}$+2=-$\frac{7}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{4+4×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{9-12×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{7}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2π}{3}$，∴sinθ=$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，属于中档题．

练习册系列答案

	A．	浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式
	B．	了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式
	C．	了解iphone6s手机的使用寿命，采用普查的方式
	D．	了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式

试题分类