Question

6．定义在R上的函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n=2，3，…
（1）求S_n；
（2）是否存在常数M＞0，?n≥2，有$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$≤M．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）+f（1-x）=1，再由数列的求和方法：倒序相加求和，即可得到所求和；
（2）求得$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=2+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{3}$+…+$\frac{2}{n}$=2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$），设出f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，求得导数和单调性，可得$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$=lnn-ln（n-1），再由累加法，可得2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$）＜2（lnn-1），即可判断是否存在常数M．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
f（1-x）=$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{4}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{2}{2+{4}^{x}}$，
可得f（x）+f（1-x）=1，
即有S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
又S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
可得2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]
=n-1，即有S_n=$\frac{n-1}{2}$；
（2）$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=2+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{3}$+…+$\frac{2}{n}$=2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）
令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$=lnn-ln（n-1），
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）=lnn，
即有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn-1，
即有2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$）＜2（lnn-1），
由于lnn无最大值，
则不存在常数M＞0，?n≥2，有$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$≤M．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查存在性问题的解法，注意运用构造法，以及累加法，考查运算能力，属于中档题．