Question

1．已知函数f（x）=（$\frac{x-1}{x+1}$）²（x＞1）．
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）用单调性的定义证明：f^-1（x）在定义域上为增函数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的值域，即f^-1（x）的定义域，令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²，解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，得出f^-1（x）．
（2）设x₁，x₂是定义域的任意2个数，且x₁＜x₂，求出f^-1（x₁）-f^-1（x₂）并变形，判断差的符号，得出结论．

解答 解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²，解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，∴f^-1（x）=$\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$，（0＜x＜1）．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=$\frac{1+\sqrt{{x}_{1}}}{1-\sqrt{{x}_{1}}}$-$\frac{1+\sqrt{{x}_{2}}}{1-\sqrt{{x}_{2}}}$=$\frac{（1+\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）-（1+\sqrt{{x}_{2}}）（1-\sqrt{{x}_{1}}）}{（1-\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）}$=$\frac{2（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）}{（1-\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）}$．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴1-$\sqrt{{x}_{1}}$＞0，1-$\sqrt{{x}_{2}}$＞0，$\sqrt{{x}_{1}}＜\sqrt{{x}_{2}}$，∴$\frac{2（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）}{（1-\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）}$＜0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）＜0，即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在定义域上为增函数．

点评 本题考查了反函数的求法，函数单调性的证明，不要忘记求出定义域．