Question

5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）求异面直线AC与BD₁所成的角的大小； 
（2）求直线AE与平面ABB₁A₁所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD₁所成的角的大小．
（2）求出平面ABB₁A₁的法向量，利用向量法能求出直线AE与平面ABB₁A₁所成的角的大小．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=4-4+0=0，
∴AC⊥$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，
∴异面直线AC与BD₁所成的角的大小为90^○．
（2）E（0，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，1），
平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线AE与平面ABB₁A₁所成的角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴θ=arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线AE与平面ABB₁A₁所成的角的大小为arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．