Question

已知点P（1，a）和圆x²+y²=4．
（1）若过点P的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
（2）若a=

2

，过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）若过点P的圆的切线只有一条，则P在圆上，根据条件即可求a的值及切线方程；
（2）根据过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，得到AC、BD的方程关系即可得到结论．

解答： 解：（1）若过点P的圆的切线只有一条，则知点P圆上，
则1+a²=4，解得a=±

3

；
当a=

3

时，点P（1，

3

），切线方程为x+

3

y-4=0，
当a=-

3

时，点P（1，-

3

），切线方程为x-

3

y-4=0，
（2）设原点O到AC、BD的距离为d₁，d₂，（d₁≥0，d₂≥0）
则d12+d22=|OP|2=3，
于是|AC|=2

4-d12

，|BD|=2

4-d22

，
由AC、BD相互垂直，则四边形ABCD的面积
S=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4-d12)(4-d22)

=2

16-4(d12+d22)+d12d22

=2

4+d12d22

，
∵d₁²+d₂²≥2d₁d₂，则d₁d₂≤

3

2

，当且仅当d₁=d₂=

6

2

时取“=”
则d₁²d₂²≤

9

4

，从而S=2

4+d12d22

≤5，
即：四边形ABCD的面积最大值为5．

点评：本题主要考查圆的切线方程以及直线和圆的位置关系，综合性较强，有一点难度．