Question

是否存在常数a，b，c使得等式1·2²＋2·3²＋…＋n(n＋1)²＝ (an²＋bn＋c)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

解：假设存在符合题意的常数a，b，c，

在等式1·2²＋2·3²＋…＋n(n＋1)²

＝ (an²＋bn＋c)中，

令n＝1，得4＝(a＋b＋c)①

令n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)②

令n＝3，得70＝9a＋3b＋c③

由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，

于是，对于n＝1,2,3都有

1·2²＋2·3²＋…＋n(n＋1)²

＝ (3n²＋11n＋10)(*)式成立．

下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立．

(1)当n＝1时，由上述知，(*)式成立．

(2)假设n＝k(k∈N^*)时，(*)式成立，

即1·2²＋2·3²＋…＋k(k＋1)²

＝ (3k²＋11k＋10)，

那么当n＝k＋1时，

1·2²＋2·3²＋…＋k(k＋1)²＋(k＋1)(k＋2)²

＝ (3k²＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)²

＝ (3k²＋5k＋12k＋24)

＝ [3(k＋1)²＋11(k＋1)＋10]，

由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立．

综上所述，当a＝3, b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．