Question

设数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝a_n＋ (n＝1,2，…)．

(1)证明：a_n＞对一切正整数n都成立；

(2)令b_n＝ (n＝1,2，…)，判断b_n与b_n＋1的大小，并说明理由．

Answer 1

解：(1)证明：法一：当n＝1时，a₁＝2＞，不等式成立．

假设当n＝k(k∈N^*)时，a_k＞成立．

那么当n＝k＋1时，a＝a＋＋2＞2k＋3＋＞2(k＋1)＋1.

∴当n＝k＋1时，a_k＋1＞成立．

综上，a_n＞对一切正整数n都成立．

法二：当n＝1时，a₁＝2＞＝，结论成立．

假设当n＝k(k∈N^*)时结论成立，

即a_k＞.

 那么当n＝k＋1时，由函数f(x)＝x＋(x＞1)的单调递增性和归纳假设，

知a_k＋1＝a_k＋＞＋

故b_n＋1＜b_n.