Question

17．已知函数f（x）=2ln（x+1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=2x，求切点P的坐标；
（Ⅱ）求证：当x∈[0，e-1]时，f（x）≥x²-2x；（其中e=2.71828…）
（Ⅲ）确定非负实数a的取值范围，使得?x≥0，f（x）≥a（2x-x²）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义结合切线方程，即可得到结论．
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-x²+2x，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可证明不等式．
（Ⅲ）利用导数以及函数的最值即可得到结论．

解答 （Ⅰ）解：定义域为（-1，+∞），$f'（x）=\frac{2}{x+1}$．
由题意，f'（x₀）=2，所以x₀=0，f（0）=0，即切点P的坐标为（0，0）．…（3分）
（Ⅱ）证明：当x∈[0，e-1]时，f（x）≥x²-2x，可转化为
当x∈[0，e-1]时，f（x）-x²+2x≥0恒成立．
设g（x）=f（x）-x²+2x，
所以原问题转化为当x∈[0，e-1]时，g（x）_min≥0恒成立．
所以$g'（x）=\frac{2}{x+1}-2x+2=\frac{{4-2{x^2}}}{x+1}$．
令g'（x）=0，则${x_1}=-\sqrt{2}$（舍），${x_2}=\sqrt{2}$．
所以g（x），$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．变化如下：

x	0	$（0，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$	$（\sqrt{2}，e-1）$	e-1
$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．		+	0	-
g（x）	g（0）	↗	极大值	↘	g（e-1）

因为g（0）=f（0）-0=0，g（e-1）=2-（e-1）²+2（e-1）=2+（e-1）（3-e）＞0，
所以g（x）_min=0．
当x∈[0，e-1]时，f（x）≥x²-2x成立．…..（8分）
（Ⅲ）解：?x≥0，f（x）≥a（2x-x²），可转化为
当x≥0时，f（x）-a（2x-x²）≥0恒成立．
设h（x）=f（x）-a（2x-x²），
所以$h'（x）=\frac{2}{x+1}-2a+2ax=\frac{{2（a{x^2}+1-a）}}{x+1}$．
（1）当a=0时，对于任意的x≥0，$h'（x）=\frac{2}{x+1}＞0$，
所以h（x）在[0，+∞）上为增函数，所以h（x）_min=h（0）=0，
所以命题成立．
当a＞0时，令h'（x）=0，则ax²+1-a=0，
（2）当1-a≥0，即0＜a≤1时，对于任意的x≥0，h'（x）＞0，
所以h（x）在[0，+∞）上为增函数，所以h（x）_min=h（0）=0，
所以命题成立．
（3）当1-a＜0，即a＞1时，
则${x_1}=-\sqrt{\frac{a-1}{a}}$（舍），${x_2}=\sqrt{\frac{a-1}{a}}=\sqrt{1-\frac{1}{a}}＞0$．
所以h（x），h'（x）变化如下：

x	0	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
h'（x）		-	0	+
h（x）		↘	极小值	↗

因为h（x）_min=h（x₂）＜h（0）=0，
所以，当x≥0时，命题不成立．
综上，非负实数a的取值范围为[0，1]．…..（13分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系求出a的值是解决本题的关键．利用构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是证明不等式的常用方法．