Question

17．已知命题p：方程$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{12-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3m}=1$的离心率e∈（2，3）；若p∨q为真，且p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若p∨q为真，且p∧q为假，p、q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：命题p为真时：0＜2m＜12-m，即：0＜m＜4…（2分）
命题p为假时：m≤0或m≥4
命题q为真时：$\left\{\begin{array}{l}4＜\frac{2+3m}{2}＜9\\ 3m＞0\end{array}\right.⇒2＜m＜\frac{16}{3}$…（4分）
命题q为假时：$m≥\frac{16}{3}或m≤2$，
由p∨q为真，p∧q为假可知：p、q一真一假…（6分）
②p真q假时$\left\{{\begin{array}{l}{0＜m＜4}\\{m≥\frac{16}{3}或m≤2}\end{array}⇒0＜m≤2}\right.$：…（7分）
②p假q真时：$\left\{{\begin{array}{l}{m≥4或m≤0}\\{2＜m＜\frac{16}{3}}\end{array}⇒4≤m＜\frac{16}{3}}\right.$…（8分）
综上所述：0＜m≤2或$4≤m＜\frac{16}{3}$…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆和双曲线的性质，难度中档．