Question

3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b-a）•cosC=c•cosA．
（I）求角C的大小；
（II）求sinA+sinB的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理以及和与差的公式化简即可得角C的大小；
（II）利用三角形内角和定理和辅助角公式化简，根据三角函数的有界性可得最大值．可得A和B的关系，即可判断此时△ABC的形状．

解答 解：（I）∵（2b-a）•cosC=c•cosA
由正弦定理，得：（2sinB-sinA）•cosC=sinA•cosA
即：2sinBcosC=sinA•cosC+sinA•cosC
2sinBcosC=sin（A+C）=sinB．（sinB＞0），
∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）由（I）可知，C=$\frac{π}{3}$，
∴$B=\frac{2π}{3}-A$．
$\begin{array}{l}∴sinA+sinB=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA\\=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）\end{array}$
当A=$\frac{π}{3}$时，sinA+sinB取得最大值．
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
故得ABC为正三角形．

点评 本题考查了正弦定理以及和与差的公式，辅助角公式的化简和运用能力．属于基础题．