Question

13．已知在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O-PAB的体积不小于$\frac{2}{3}$的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{5}{16}$
• C． $\frac{4}{15}$
• D． $\frac{3}{14}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，取AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，可知当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V_{三棱锥O-PAB}≥$\frac{2}{3}$，求出多面体CDEFGH的体积，利用对应的体积比值求出概率．

解答 解：如图，∵PA丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AD⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，
取AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，
当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V_{三棱锥O-PAB}≥$\frac{2}{3}$．
在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，
则V_{多面体CDEFGH}=V_{四棱锥G-CDEF}+V_{三棱锥G-DEH}=$\frac{1}{3}×2×1×1+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{5}{6}$，
又V_{四棱锥P-ABCD}=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$，
则所求的概率为P=$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{8}{3}}=\frac{5}{16}$．
故选：B．

点评 本题考查几何概型，考查空间几何体体积的计算，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．