Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

2×( 2 3 )n-5，n为偶数 4n-6，n为奇数

，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}的通项公式可知，数列{a_n}的所有奇数项构成以-2为首项，以8为公差的等差数列，所有偶数项构成以

27

4

为首项，以为

4

9

公比的等比数列，然后分别取n为奇数和偶数并求出对应的项数，根据等差、等比数列的求和公式求得{a_n}的前n项和．

解答： 解：由a_n=

2×( 2 3 )n-5，n为偶数 4n-6，n为奇数

得，
可知数列{a_n}的所有奇数项构成以-2为首项，以8为公差的等差数列，
所有偶数项构成以为

27

4

首项，以为

4

9

公比的等比数列．
当n为奇数时，其中有

n-1

2

项为偶数项，有

n+1

2

项为奇数项，
所以S_n=

n+1

2

×(-2)+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×8+

27 4 [1-( 4 9 ) n-1 2 ]

1- 4 9

=(n+1)(n-2)+

243

20

[1-(

2

3

)n-1]，
当n为偶数时，其中有

n

2

项为偶数项，有

n

2

项为奇数项，
S_n=

n

2

×(-2)+

n 2 ( n 2 -1)

2

×8+

27 4 [1-( 4 9 ) n 2 ]

1- 4 9

=n(n-2)+

243

20

[1-(

2

3

)n]，
综上得，S_n=

(n+1)(n-2)+ 243 20 [1-( 2 3 )n-1]，n为奇数 n(n-2)+ 243 20 [1-( 2 3 )n]，n为偶数

．

点评：本题考查等差、等比数列的性质和求和公式，解题的关键是对n进行奇偶数分类讨论时，正确判断奇数项、偶数项的项数，考查了学生的计算化简能力．