题目内容

18．如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．

（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；
（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；
（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为$\frac{3\sqrt{6}}{14}$．若存在，求出$\frac{EQ}{EC}$的值；若不存在，请说明理由．

分析 （Ⅰ）取AE的中点F，连接DF、PF，由已知证得PF∥DC，且PF=DC，则四边形DCPF为平行四边形，可得PC∥DF．再由线面平行的判定可得CP∥平面DAE；
（II）由∠BAE=90°，平面ABCD平面ABE，在平面ABCD内过A作Az⊥AB．以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴，Az为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AD=AE=2，求得E，C，D的坐标，进一步求出平面ECD与平面平面ABC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；
（Ⅲ）设Q（x，y，z），且$\overrightarrow{EQ}=λ\overrightarrow{EC}$，由向量相等求得Q（2-2λ，2λ，$\sqrt{3}λ$），又P（1，1，0），可得$\overrightarrow{PQ}=（1-2λ，2λ-1，\sqrt{3}λ）$．结合直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为$\frac{3\sqrt{6}}{14}$列式求得$λ=\frac{2}{9}$或$λ=\frac{2}{33}$．

解答 （Ⅰ）证明：取AE的中点F，连接DF、PF，
∵P为BE中点，∴PF∥AB，且PF=$\frac{1}{2}AB$，
又直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，
可得DC∥AB，且DC=$\frac{1}{2}AB$，
∴PF∥DC，且PF=DC，则四边形DCPF为平行四边形，可得PC∥DF．
而DF?平面EAD，PC?平面EAD，∴CP∥平面DAE；
（II）解：∵∠BAE=90°，平面ABCD平面ABE，在平面ABCD内过A作Az⊥AB．
∴以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴，Az为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AD=AE=2，由已知，得E（2，0，0），C（0，2，$\sqrt{3}$），D（0，1，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{EC}=（-2，2，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$，
设平面ECD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=-2x+2y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取z=2，得平面ECD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，2）．
又∵平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；
（Ⅲ）解：线段EC上存在点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为$\frac{3\sqrt{6}}{14}$，此时$\frac{EQ}{EC}$=$\frac{2}{9}$或$\frac{EQ}{EC}$=$\frac{2}{33}$．
设Q（x，y，z），且$\overrightarrow{EQ}=λ\overrightarrow{EC}$，则（x-2，y，z）=（-2$λ，2λ，\sqrt{3λ}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=-2λ}\\{y=2λ}\\{z=\sqrt{3}λ}\end{array}\right.$，即Q（2-2λ，2λ，$\sqrt{3}λ$），P（1，1，0），
则$\overrightarrow{PQ}=（1-2λ，2λ-1，\sqrt{3}λ）$．
∵直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为$\frac{3\sqrt{6}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|\sqrt{3}（1-2λ）+2\sqrt{3}λ|}{\sqrt{2（1-2λ）^{2}+3{λ}^{2}}•\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{6}}{14}$．
解得：$λ=\frac{2}{9}$或$λ=\frac{2}{33}$．
∴$\frac{EQ}{EC}$=$\frac{2}{9}$或$\frac{EQ}{EC}$=$\frac{2}{33}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求线面角与面面角，是中档题．

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