Question

7．设A，B分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右顶点，P是双曲线C上异于A，B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则$\frac{2a}{b}$+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由题意求得直线AP及PB斜率，根据对数的运算性质即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求得t=1时，h（t）取最小值，$\frac{b}{a}$=1，利用双曲线的离心率公式即可求得答案．

解答 解：由A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，y₀²=$\frac{{b}^{2}（{x}_{0}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，
则m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，则mn=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
$\frac{2a}{b}$+ln|m|+ln|n|=$\frac{2a}{b}$+ln$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
设$\frac{b}{a}$=t，t＞0，
则h（t）=$\frac{2}{t}$+2lnt，t＞0，
h′（t）=$\frac{2}{t}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$，
则t=1时，h（t）取最小值，
∴则$\frac{b}{a}$=1，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴双曲线C的离心率$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，对数的运算性质，导数与函数单调性及最值的关系，考查计算能力，属于中档题．