Question

3．已知曲线C₁的参数方程为$_1\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=1．
（Ⅰ）把C₁的参数方程式化为普通方程，C₂的极坐标方程式化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂焦点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$_1\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，化为普通方程．由ρ=1，得ρ²=1，
再将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入ρ²=1，可得C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得，再化为极坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$_1\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，化为普通方程（x-1）²+（y-1）²=1，即C₁的普通方程为（x-1）²+（y-1）²=1，
由ρ=1，得ρ²=1，
再将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入ρ²=1，得x²+y²=1，
即C₂的直角坐标方程为x²+y²=1．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$
所以C₁与C₂交点的极坐标分别为$（{1，0}），（{1，\frac{π}{2}}）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．