Question

14．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）的左焦点为F₁，右顶点为A₁，上顶点为B₁，过F₁，A₁，B₁三点的圆P的圆心坐标为（$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{1-\sqrt{6}}}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k，m为常数，k≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M和N．
（i）当直线l过E（1，0），且$\overrightarrow{EM}$+2$\overrightarrow{EN}$=$\overrightarrow 0$时，求直线l的方程；
（ii）当坐标原点O到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，求△MON面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题可知：圆心P在A₁F₁的中垂线上，则a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，由椭圆的性质可知：a²-c²=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得x₁及x₂，由x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，代入即可求得k的值，求得直线l的方程；
（ii）将直线l的方程代入椭圆方程，由点到直线的距离公式求得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），利用韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式及基本不等式的性质，求得△MON面积的最大值．

解答 解：（1）椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）的左焦点为F₁（-c，0）右顶点为A₁（a，0）上顶点为B₁（0，1），
由题意可知，圆心P在A₁F₁的中垂线上，即$\frac{a-c}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$，则a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
由a²-c²=1，及（a+c）（a-c）=1，∴a+c=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），．
代入椭圆方程，整理得：（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，①x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，②
由$\overrightarrow{EM}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{EN}$=（x₂-1，y₂）$\overrightarrow 0$，
$\overrightarrow{EM}$+2$\overrightarrow{EN}$=$\overrightarrow 0$时，则（x₁-1，y₁）+2（x₂-1，y₂）=$\overrightarrow{0}$，则x₁+2x₂=3，③，
由①③，解得：x₁=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，x₂=$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$
由②可知：$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$×$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
当3k²-3=0时，即k=±1，显然成立，
当3k²-3≠0，1+3k²≠0，则$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=1，显然不成立，
综上可知：k=±1，
∴直线l的方程y=x-1或y=-x+1；
（ii）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由题意，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，化为m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
∴丨MN丨²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$）²-4（$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$）]=$\frac{12（{k}^{2}+1）（3{k}^{2}+1-{m}^{2}）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{3（{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$，（k≠0），
=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2\sqrt{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}+6}$=4，
当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$时，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，此时丨MN丨=2，
由△MON面积S=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴△MON面积的最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，向量的坐标运算及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．