Question

4．已知平面区域D由以A（2，4）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 方法一：利用数形结合法，画出△ABC表示的平面区域，结合图形知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，从而求出m的值．
方法二：根据题意，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，且小于第三个顶点处的目标函数值，由此列出方程和不等式求出m的值．

解答 解：（方法一）依题意，满足已知条件的三角形如图所示：

令z=0，可得直线x+my=0的斜率为-$\frac{1}{m}$，
结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，
线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，
而直线AC的斜率为$\frac{4-1}{2-3}$=-3，
所以-$\frac{1}{m}$=-3，解得m=$\frac{1}{3}$．
（方法二）依题意，2+4m=5+2m＜3+m①，
或2+4m=3+m＜5+2m②，
或3+m=5+2m＜2+4m③，
解得 m∈∅，或m=$\frac{1}{3}$，或m∈∅，
所以m=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，当目标函数的最优解有无数多个时，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析z与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论；④根据斜率相等求出参数．