Question

函数f（x）=a•e^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求导函数，利用函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，确定a的值，从而可得切线方程，即可求得两平行切线间的距离．

解答： 解：求导数可得f'（x）=ae^x，g′（x）=

1

x

，
又可知y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，
∴f'（0）=g'（a），即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0，
∴由两平行切线间的距离距离公式可得距离为

|1-(-1)|

12+(-1)2

=

2

．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线的位置关系和两平行线间的距离，属于基础题．