Question

2．已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+cx图象都过点P（2，0）且在点P处有公切线，求
（1）f（x）和g（x）的表达式及公切线方程；
（2）若$F（x）=f'（1）lnx+\frac{g（x）}{16}$，求F（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（2）=0，g（2）=0，f'（2）=g'（2），得到关于a，b，c的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx+c，
依题意f（2）=0，g（2）=0，f'（2）=g'（2），
∴$\left\{\begin{array}{l}16+2a=0\\ 4b+2c=0\\ 24+a=4b+c\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a=-8\\ b=8\\ c=-16\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x³-8x，g（x）=8x²-16x．
公切线方程为y=16（x-2），即y=16x-32．
（2）$F（x）=-2lnx+\frac{1}{2}{x^2}-x（x＞0）$，
∴$F'（x）=-\frac{2}{x}+x-1$．
令$\left\{\begin{array}{l}F'（x）＞0\\ x＞0\end{array}\right.$得x＞2，
令$\left\{\begin{array}{l}F'（x）＜0\\ x＞0\end{array}\right.$得0＜x＜2，
∴F（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程，求函数的解析式问题，是一道中档题．