Question

13．不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集为∅，则m的取值范围（　　）

• A． m＜-1
• B． m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． m≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 关于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集为∅，可转化成不等式（m+1）x²-mx+m-1≥0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．

解答 解：∵关于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集为∅，
∴不等式（m+1）x²-mx+m-1≥0恒成立，
①当m+1=0，即m=-1时，不等式化为x-2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立；
②当m+1≠0时，即m≠-1时，?x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1≥0，
即m+1＞0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）≤0，
化简得：3m²≥4，解得m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴应取m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
综上，实数m的取值范围是m≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题．