Question

下面的四个不等式：
①a²+b²+c²≥ab+bc+ca；②a（1-a）≤

1

4

；③

a

b

+

b

a

≥2；④（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²．
其中不成立的有

 

 个．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：本题利用比较法和基本不等式，证明命题正确，或者举反例说明命题不正确，得到本题结论．

解答： 解：（1）a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca）=

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，∴命题①正确；
（2）a（1-a）-

1

4

=-a2+a-

1

4

=-（a-

1

2

）²≤0，
∴a（1-a）≤

1

4

，命题②正确；
（3）当a=1，b=-1时，

b

a

=-1，

a

b

=-1，
∴

b

a

+

a

b

=-2＜2，∴命题③不正确；
（4）（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-2abcd-b²d²
=a²d²-2abcd+b²c²=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²，
∴命题④正确．
故不成立的有1个，
故答案为：1．

点评：本题考查了比较法和基本不等式证明不等式，本题难度不大，属于基础题．