题目内容
设函数f（x）=x+ax2+blnx（a，b∈R），曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）-3x+2，求函数g（x）在x=1处的切线方程．
（1）求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）-3x+2，求函数g（x）在x=1处的切线方程．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程组，即可a，b的值；
（2）写出g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程．
（2）写出g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=x+ax2+blnx过点P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函数f（x）=x-x2+blnx的导数为f′（x）=x-2x+
，
∵曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3；
（2）g（x）=f（x）-3x+2=x-x2+3lnx-3x+2=-2x-x2+3lnx+2，
则g′（x）=-2-2x+
，则函数g（x）在x=1处的切线斜率为-2-2+3=-1，
切点为（1，g（1））即为（1，-1），
则切线方程为：y+1=-（x-1），
即为x+y=0．
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函数f（x）=x-x2+blnx的导数为f′（x）=x-2x+
| b |
| x |
∵曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3；
（2）g（x）=f（x）-3x+2=x-x2+3lnx-3x+2=-2x-x2+3lnx+2，
则g′（x）=-2-2x+
| 3 |
| x |
切点为（1，g（1））即为（1，-1），
则切线方程为：y+1=-（x-1），
即为x+y=0．
点评：本题主要考查导数的几何意义，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0且a≠1，则logab＞0是（a-1）（b-1）＞0的（ ）
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而充分要条件 |
| C、必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
-685°的终边落在（ ）
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |