Question

已知m＞1，直线l：x-my-

1

2

m²=0，椭圆C：

x2

m2

+y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，
（Ⅰ）当直线l过F₂时，求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分别为G、H，若原点在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）把F₂代入直线方程求得m，则直线的方程可得．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分别为G、H，可知G，H的坐标，进而根据原点在以线段GH为直径的圆内，所以

OG

•

OH

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知c=

m2-1

，l交x轴于（

m2

2

，0）为F₂（c，0），

m2

2

=

m2-1

，得m=

2

…（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），F₂（c，0），
因为△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分别为G、H，所以G（

x1

3

，

y1

3

），H（

x2

3

，

y2

3

）
因为原点在以线段GH为直径的圆内，所以

OG

•

OH

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0  …（5分）
直线l：x-my-

1

2

m²=0，椭圆C：

x2

m2

+y²=1联立可得2y²+my+

m2

4

-1=0
则由△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，①…（6分）
且有y₁+y₂=-

m

2

，y₁y₂=

m2

8

-

1

2

．                                  …（7分）
∴而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+

m2

2

）（my₂+

m2

2

）+y₁y₂=（m²+1）（

m2

8

-

1

2

）
所以

m2

8

-

1

2

＜0，即m²＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．…（12分）

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．