Question

12．设△A_nB_nC_n为一族一边长始终相等的三角形，角A_n，B_n，C_n的对边分别为a_n，b_n，c_n（n∈N^*），满足b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，且a_n，b_n+1，c_n与a_n，c_n+1，b_n分别成等差数列，则角A_n的最大值是（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 运用等差数列的中项的性质，可得a_n+c_n=2b_n+1，a_n+b_n=2c_n+1，推得b_n+c_n=2a₁，再由余弦定理和基本不等式可得
角A_n的最大值．

解答 解：由b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，
且a_n，b_n+1，c_n与a_n，c_n+1，b_n分别成等差数列，
可得a_n+c_n=2b_n+1，a_n+b_n=2c_n+1，
即有a₁+c₁=2b₂，a₁+b₁=2c₂，
相加可得2a₁+b₁+c₁=2（b₂+c₂），
即为b₂+c₂=2a₁，
同理可得b_n+c_n=2a₁，
由余弦定理可得，cosA_n=$\frac{{{b}_{n}}^{2}+{{c}_{n}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}}{2{b}_{n}{c}_{n}}$
=$\frac{（{b}_{n}+{c}_{n}）^{2}-{{a}_{1}}^{2}-2{b}_{n}{c}_{n}}{2{b}_{n}{c}_{n}}$=$\frac{3{{a}_{1}}^{2}}{2{b}_{n}{c}_{n}}$-1，
由b_n+c_n=2a₁≥2$\sqrt{{b}_{n}{c}_{n}}$，
即为a₁²≥b_nc_n，（当且仅当b_n=c_n取得等号），
则有cosA_n≥$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
即有A_n≤$\frac{π}{3}$．
则角A_n的最大值是$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的中项的性质，考查余弦定理和基本不等式的运用，属于中档题．